Théorème d'explosion - Théorème des bouts - Théorème de sortie de tout compact
Théorème
Théorème d'explosion, théorème des bouts, théorème de sortie de tout compact :
- \(\forall(t_0,y_0)\in I\times U\subset{\Bbb R}^m\), \(\exists C=[t_0-a,t_0+a]\times\overline B(y_0,b)\subset I\times U\) et \(k\gt 0,\forall(t,x_1),(t,x_2)\in C\times C\), $$\lVert F(t,x_1)-F(t,x_2)\rVert\leqslant k\lVert x_1-x_2\rVert$$
- soit \((J,y)\) la solution maximale de \(y^\prime= F(t,y)\)
- on note \(]T^-,T^+[\;:=J\)
- et \(I=\;]a,b[\) pour \(-\infty\leqslant a\lt b\leqslant+\infty\)
$$\Huge\iff$$
- soit \(T^+=\sup I\)
- soit \(T^+\lt \sup I\), et \(\forall K\) compact de \(U\), $$\exists t_K\lt T^+,\forall t\gt t_K,\quad y(t)\notin K$$
- idem pour \(T^-\)
(
Théorème de Cauchy-Lipschitz,
Compact - Compacité)
Démonstration par l'absurde
Conséquence du théorème d'explosion/des bouts quand \(I={\Bbb R}\) :- \(\sup J=+\infty\)
- ou $$\forall K\subset U,\exists t_K\lt T^+,\forall t\gt t_K,\quad y(t)\notin K$$
- en particulier si \(U={\Bbb R}^m\), $$\lim_{t\to T^+}\lVert y(t)\rVert=+\infty$$